Модуль юнга

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Запас прочности

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Модуль Юнга (упругости)

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации. Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой. Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р. Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Показатели продольной эластичности

Для определенных конструкционных материалов, довольно часто используемых для достижения конкретных практических результатов, существуют уже выверенные показатели, сведенные в одну таблицу. В частности, от их параметров устойчивости к механическим воздействиям может зависеть срок службы строительных конструкций и прочих сооружений.

Цифровое установление модуля Юнга происходит с применением особой, специально рассчитанной диаграммы напряжения. Там указывается специфическая кривая, которая получается при множественных тестированиях каждого из отдельно взятых стройматериалов на устойчивость к механическим воздействиям.

В таком случае физическое значение модуля продольной эластичности состоит в установлении математически точного отношения средних показателей напряжения к соответственным параметрам деформации на отдельно взятом отрезке диаграммы до конкретных, заранее установленных границ соразмерности.

https://youtube.com/watch?v=QlWLxxXVnm0

Модуль упругости дерева

Древесина считается упругой, если она после устранения действия силы изгибающей её, принимает исходную форму. У упругости есть предел. Он достигается, когда при изгибе деревянная детальили изделие сохранит конечную форму.Попросту говоря, предел упругости доски достигается в тот момент, когда она ломается.  Свойства упругости и гибкости не идентичны. Гибкость – способность менять форму под действием внешних воздействий. Упругость – возможность возвращать утраченную форму. Дерево с высоким модулем необходимо для того, чтобы делать спортивные снаряды, мебель. Наиболее упруга древесина таких пород как ясень, бук, кария, лиственница.

Чтобы описать способность к возвращению исходной формы, используют следующие физические величины:

• модуль упругости Е;
• коэффициент деформации µ;
• модуль сдвига G.

В общем, можно говорить о том, что при приложении силы вдоль древесных волокон, модуль упругости в 20-25 раз выше, чем если та же сила действует поперек волокон. Если сила действует перпендикулярно направлению волокон и направлена радиально, то этот показатель на 20-50 % больше, чем при действии той же силы в тангенциальном направлении.

Ниже рассмотрим более подробно эти физические величины, определяющие способность дерева возвращать исходную форму при снятии деформирующего усилия.

Модуль упругости древесины основных пород

Модуль упругости в физике рассматривается как единое наименование комплекса физических величин, характеризующих способность твердого тела (в нашем случае – дерева) упруго деформироваться, если к нему будет приложена какая-то сила.

Модуль упругости древесины (Е) – соотношение между нормальными напряжениями и относительными деформациями. Он измеряется в Мпа либо в кГс/см2 (1Мпа=10.197 кГс/см2) Выделяют несколько видов:

1. вдоль волокон Е_а.
2. поперек волокон (тангенциальный) Е_t.
3. поперек волокон (радиальный) Е_r.
4. модуль упругости при изгибе Е_изг.

Таблица. Сведения по наиболее часто используемым породам.*

Коэффициенты поперечной деформации основных пород дерева

Во время приложения нагрузки, кроме продольной деформации вдоль волокон так же появляется поперечная при изгибе.

Коэффициенты этого типа деформации приведены в таблице:

Модуль сдвига основных пород древесины

Модуль сдвига – коэффициент пропорциональности между касательными напряжениями и угловыми деформациями древесины.

Данные по модулю сдвига для основных пород приведены ниже:

Пластичность древесины

Дерево способно под давлением менять без разрушения свою форму, сохранять её после того, как давление будет снято. Такое свойство называется пластичностью. Пластичность зависит от тех же критериев, что упругость, только в обратном направлении. Например, чем выше влажность древесины, тем она более пластична, при этом менее упруга.

Пластичность дерева повышают с помощью специальной обработки. Пропаривая или проваривая его в воде, получаем более пластичный материал, которую затем используют для изготовления мебели, полозьев саней. Наивысшая пластичность у бука, вяза, ясеня, дуба. Это свойство обусловлено строением проводящей системы данных пород. У бука, например, много крупных сердцевинных лучей, изгибающих волокна древесины. Сосуды, расположенные группами в годовых слоях вяза, дуба, ясеня, сильно сдавлены более плотной поздней древесиной, поэтому пластичность этих пород высока.

Способы определения и контроля показателей прочности металлов

Развитие металлургии и других сопутствующих направлений по изготовлению предметов из металла обязано созданию оружия. Сначала научились выплавлять цветные металлы, но прочность изделий была относительно невысокой. Только с появлением железа и его сплавов началось изучение их свойств.

Первые мечи для придания им твердости и прочности делали довольно тяжелыми. Воинам приходилось брать их в обе руки, чтобы управляться с ними.

Со временем появились новые сплавы, разрабатывались технологии производства. Легкие сабли и шпаги пришли на замену тяжеловесному оружию. Параллельно создавались орудия труда.

С повышением прочностных характеристик совершенствовались инструменты и способы производства.

Виды нагрузок

При использовании металлов прилагаются разные нагрузки статического и динамического воздействия. В теории прочности принято определять нагружения следующих видов.

Сжатие – действующая сила сдавливает предмет, вызывая уменьшение длины вдоль направления приложения нагрузки. Такую деформацию ощущают станины, опорные поверхности, стойки и ряд других конструкций, выдерживающих определённый вес. Мосты и переправы, рамы автомобилей и тракторов, фундаменты и арматура, – все эти конструктивные элементы находятся при постоянном сжатии.

Растяжение – нагрузка стремится удлинить тело в определенном направлении. Подъемно-транспортные машины и механизмы испытывают подобные нагружения при подъеме и переноске грузов.

Сдвиг и срез – такое нагружение наблюдается в случае действия сил, направленных вдоль одной оси навстречу друг другу. Соединительные элементы (болты, винты, заклепки и другие метизы) испытывают нагрузку подобного вида. В конструкции корпусов, металлокаркасов, редукторов и других узлов механизмов и машин обязательно имеются соединительные детали. От их прочности зависит работоспособность устройств.

Кручение – если на предмет действует пара сил, находящихся на определенном расстоянии друг от друга, то возникает крутящий момент. Эти усилия стремятся произвести скручивающую деформацию. Подобные нагружения наблюдаются в коробках передач, валы испытывают именно такую нагрузку. Она чаще всего непостоянная по значению. В течение времени величина действующих сил меняется.

Изгиб – нагрузка, которая изменяет кривизну предметов, считается изгибающей. Мосты, перекладины, консоли, подъемно-транспортные механизмы и другие детали испытывают подобное нагружение.

В середине XVII века одновременно в нескольких странах начались исследования материалов. Предлагались самые разные методики по определению прочностных характеристик. Английский исследователь Роберт Гук (1660 г.) сформулировал основные положения закона по удлинению упругих тел в результате приложения нагрузки (закона Гука). Введены и понятия:

1. Напряжения σ, которое в механике измеряется в виде нагрузки, приложенной к определенной площади (кгс/см², Н/м², Па).
2. Модуля упругости Е, который определяет способность твердого тела деформироваться под действием нагружения (приложения силы в заданном направлении). Единицы измерения также определяются в кгс/см² (Н/м², Па).

Формула по закону Гука записывается в виде ε = σz/E, где:

• ε – относительное удлинение;
• σz – нормальное напряжение.

Демонстрация закона Гука для упругих тел:

Из приведенной зависимости выводится значение Е для определенного материала опытным путем, Е = σz/ε.

Модуль упругости – это постоянная величина, характеризующая сопротивление тела и его конструкционного материала при нормальной растягивающей или сжимающей нагрузке.

В теории прочности принято понятие модуль упругости Юнга. Это английский исследователь дал более конкретное описание способам изменения прочностных показателей при нормальных нагружениях.

Значения модуля упругости для некоторых материалов приведены в таблице 1.

Таблица 1: Модуль упругости для металлов и сплавов

Наименование материала	Значение модуля упругости, 10¹²·Па
Алюминий	65…72
Дюралюминий	69…76
Железо, содержание углерода менее 0,08 %	165…186
Латунь	88…99
Медь (Cu, 99 %)	107…110
Никель	200…210
Олово	32…38
Свинец	14…19
Серебро	78…84
Серый чугун	110…130
Сталь	190…210
Стекло	65…72
Титан	112…120
Хром	300…310

Модуль упругости — что это?

Модулем упругости какого-либо материала называют совокупность физических величин, которые характеризуют способность какого-либо твёрдого тела упруго деформироваться в условиях приложения к нему силы. Выражается она буквой Е. Так она будет упомянута во всех таблицах, которые будут идти далее в статье.

Невозможно утверждать, что существует только один способ выявления значения упругости. Различные подходы к изучению этой величины привели к тому, что существует сразу несколько разных подходов. Ниже будут приведены три основных способа расчёта показателей этой характеристики для разных материалов:

• Модуль Юнга (Е) описывает сопротивление материала любому растяжению или сжатию при упругой деформации. Определяется вариант Юнга отношением напряжения к деформации сжатия. Обычно именно его называют просто модулем упругости.
• Модуль сдвига (G), называемый также модулем жёсткости. Этот способ выявляет способность материала оказывать сопротивление любому изменению формы, но в условиях сохранения им своей нормы. Модуль сдвига выражается отношением напряжения сдвига к деформации сдвига, которая определяется в виде изменения прямого угла между имеющимися плоскостями, подвергающимися воздействию касательных напряжений. Модуль сдвига, кстати, является одной из составляющих такого явления, как вязкость.
• Модуль объёмной упругости (К), которые также именуется модулем объёмного сжатия. Данный вариант обозначает способность объекта из какого-либо материала изменять свой объём в случае воздействия на него всестороннего нормального напряжения, являющимся одинаковым по всем своим направлениям. Выражается этот вариант отношением величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия.
• Существуют также и другие показатели упругости, которые измеряются в других величинах и выражаются другими отношениями. Другими ещё очень известными и популярными вариантами показателей упругости являются параметры Ламе или же коэффициент Пуассона.

Модуль упругости фанеры

Фанера – строительный материал, производимый путем склеивания нескольких слоев деревянного шпона.  Она очень популяренна, и неспроста.  Кроме эстетической ценности, фанера обладает рядом значений параметров,  выделяющих её в ряду материалов для строительства. Проходя обработку, фанера приобретает прочность,  упругость, влагостойкость.

На характеристики фанеры влияют многие факторы:

• порода дерева, используемого для шпона;
• исходное состояние сырья;
• влажность самой фанеры;
• тип и состав клея, которым соединяются слои шпона;
• технология предварительной обработки.

Для фанеры так же рассчитывается модуль упругости и все соответствующие коэффициенты.

Важно то, что модуль упругости фанеры и другие показатели выше, чем у древесины, из которой она была изготовлена. Модуль упругости древесины рассчитывают обязательно перед постройкой кровельных, стропильных систем

Знание внутренних усилий, появляющихся в строительных материалах, важно для безопасности, долговечности постройки. Способность возвращать утраченную форму значимо при выборе материала рукояток ударных инструментов, оружейных лож

Модуль упругости древесины рассчитывают обязательно перед постройкой кровельных, стропильных систем

Знание внутренних усилий, появляющихся в строительных материалах, важно для безопасности, долговечности постройки. Способность возвращать утраченную форму значимо при выборе материала рукояток ударных инструментов, оружейных лож

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Испытание на растяжение

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Значения σ_раст в МПа:

Материалы	σраст
Бор	5700	0,083
Графит	2390	0,023
Сапфир	1495	0,030
Стальная проволока	415	0,01
Стекловолокно	350	0,034
Конструкционная сталь	60	0,003
Нейлон	48	0,0025

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

В экспериментальных исследованиях линейные функциональные зависимости встречаются довольно часто. Примерами могут служить зависимости: силы упругости от деформации (закон Гука ), силы тока в проводнике от напряжения (закон Ома ), кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего излучения (закон Эйнштейна ) и др. Кроме того, с помощью замены переменных практически любую зависимость можно свести к линейной вида

, (П.1)

где и — некоторые подлежащие определению параметры. В частном случае параметр может быть равен нулю (величины и прямо пропорциональны друг другу). Тогда соотношение (П.1) примет вид

(П.2)

В обоих случаях при обработке результатов измерений можно использовать простой и наглядный графический метод. Однако он не отличается высокой точностью, что связано с дополнительными погрешностями при нанесении точек, проведении прямой “на глаз” и снятии отсчетов с графика. Точность можно повысить, если результаты измерений обработать аналитически, используя метод наименьших квадратов. Рассмотрим его применение для простой зависимости (П.2).

Пусть некоторая величина прямо пропорциональна величине , т.е. . Экспериментально независимыми способами измерен ряд значений , , одной величины и соответствующие им значения другой величины. При графической обработке результатов измерений полученные данные по соответствующим правилам изображаются в виде точек (рис. П.1). Дальнейшая задача сводится к подбору такого угла наклона проводимой прямой, при котором она располагалась бы возможно ближе ко всем точкам и по обе ее стороны оказывалось бы приблизительно равное их количество. Понятно, что выполнение подобной операции “на глаз” не может обеспечить высокую точность. Более точное математическое правило проведения прямой линии заключается в нахождении такого значения параметра , при котором сумма квадратов отклонений всех экспериментальных точек от линии графика была бы наименьшей.

Рис. П.1. Зависимость величины от с указанием отклонений

Обычно случайные погрешности в определении аргумента незначительны (как правило, в ходе эксперимента значения задаются и устанавливаются на приборах самим экспериментатором). Поэтому отклонения экспериментальных точек от прямой, т.е. случайные погрешности , будут равны разностям ординат данных точек и соответствующих точек на прямой (см. рис. П1). Согласно методу наименьших квадратов наилучшей будет та прямая, для которой будет минимальной величина

. (П.3)

По условию минимума производная от величины по параметру должна быть равна нулю:

. (П.4)

Отсюда наилучшее значение

. (П.5)

Для оценки абсолютной случайной погрешности измерения вычисляют так называемое стандартное отклонение

. (П.6)

При количестве измерений абсолютную случайную погрешность принимают равной , при величина .

Относительная случайная погрешность , или в процентах .

Инструментальные и другие погрешности оценивают так же, как и при косвенных измерениях.

Модуль Юнга в действии

Смотреть галерею

Для определения модуля упругости, а также для понимания, как им пользоваться, можно привести простой пример с пружиной. Для этого необходимо взять металлическую пружину и измерить площадь круга, который образуют ее витки. Это делается по простой формуле S = πr², где п — число пи, равное 3,14, а r — радиус витка пружины.

Далее следует замерить длину пружины l0 без нагрузки. Если повесить какой-либо груз массой m1 на пружину, тогда она увеличит свою длину до некоторой величины l1. Модуль упругости E можно вычислить, исходя из знания закона Гука по формуле: E = m1gl0/(S(l1-l0)), где g — ускорение свободного падения. В данном случае отметим, что величина деформации пружины в упругой области может намного превышать 1 %.

Знание модуля Юнга позволяет предсказывать величину деформации при действии конкретного напряжения. В данном случае, если повесить на пружину другую массу m2, получим следующую величину относительной деформации: d = m2g/(SE), где d — относительная деформация в упругой области.

Общее понятие

Модуль упругости (также известный как модуль Юнга) – один из показателей механических свойств материала, который характеризует его сопротивляемость деформации растяжения. Другими словами, его значение показывает пластичность материала. Чем больше модуль упругости, тем менее будет растягиваться какой-либо стержень при прочих равных условиях (величина нагрузки, площадь сечения и прочее).

В теории упругости модуль Юнга обозначается буквой Е. Является составной частью закона Гука (закона о деформации упругих тел). Связывает напряжение, возникающее в материале, и его деформацию.

Согласно международной стандартной системе единиц измеряется в МПа. Но на практике инженеры предпочитают использовать размерность кгс/см2.

Определение модуля упругости осуществляется опытным путем в научных лабораториях. Суть данного способа заключается в разрыве на специальном оборудовании гантелеобразных образцов материала. Узнав напряжение и удлинение, при котором произошло разрушение образца, делят данные переменные друг на друга, тем самым получая модуль Юнга.

Отметим сразу, что таким методом определяются модули упругости пластичных материалов: сталь, медь и прочее. Хрупкие материалы – чугун, бетон – сжимают до появления трещин.

Дополнительные характеристики механических свойств

Модуль упругости дает возможность предугадать поведение материла только при работе на сжатие или растяжение. При наличии таких видов нагрузок как смятие, срез, изгиб и прочее потребуется введение дополнительных параметров:

• Жесткость есть произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения профиля. По величине жесткости можно судить о пластичности уже не материала, а узла конструкции в целом. Измеряется в килограммах силы.
• Относительное продольное удлинение показывает отношение абсолютного удлинения образца к общей длине образца. Например, к стержню длиной 100 мм приложили определенную силу. Как результат, он уменьшился в размере на 5 мм. Деля его удлинение (5 мм) на первоначальную длину (100 мм) получаем относительное удлинение 0,05. Переменная является безразмерной величиной. В некоторых случаях для удобства восприятия переводится в проценты.
• Относительное поперечное удлинение рассчитывается аналогично вышепредставленному пункту, но вместо длины здесь рассматривается диаметр стержня. Опыты показывают, что для большинства материалов поперечное удлинение в 3-4 раза меньше, чем продольное.
• Коэффициент Пуансона есть отношение относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации. Данный параметр позволяет полностью описать изменение формы под воздействием нагрузки.
• Модуль сдвига характеризует упругие свойства при воздействии на образец касательных напряжений, т. е. в случае, когда вектор силы направлен под 90 градусов к поверхности тела. Примерами таких нагрузок является работа заклепок на срез, гвоздей на смятие и прочее. По большому счету, модуль сдвига связан с таким понятием как вязкость материла.
• Модуль объемной упругости характеризуется изменением объема материала для равномерного разностороннего приложения нагрузки. Является отношением объемного давления к объемной деформации сжатия. Примером такой работы служит опущенный в воду образец, на который по всей его площади воздействует давление жидкости.

Помимо вышесказанного необходимо упомянуть, что некоторые типы материалов имеют различные механические свойства в зависимости от направления нагрузки. Такие материалы характеризуются как анизотропные. Яркими примерами служит древесина, слоистые пластмассы, некоторые виды камня, ткани и прочее.

У изотропных материалов механические свойства и упругая деформация одинаковы в любом направлении. К ним относят металлы (сталь, чугун, медь, алюминий и прочее), неслоистые пластмассы, естественные камни, бетон, каучук.

Упругие деформации. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Энергия упругой деформации.

Все тела деформируемы. Изменения, вызванные действиями приложенных сил, при которых тела меняют форму и объем – деформации.

 Упругие деформации – деформации, которые исчезают, после прекращения действия приложенной силы.

Пластические деформации (остаточные деформации) – деформации, которые сохраняются в теле (частично или полностью) после прекращения действия приложенной силы.

Если напряжение (сила, отнесенная к единице площади) не превышает некоторой величины (предел упругости), то деформация будет упругой.

Идеально упругие тела – тела, которые могут претерпевать только упругие деформации. Для таких тел существует однозначная зависимость между силами и вызываемыми ими деформациями.

Малые деформации – деформации, которые подчиняются закону Гука, согласно которому

деформации пропорциональны силам, их вызывающимизотропныеанизотропные

Пусть есть два стержня. Один сжимаем, а другой сдавливаем с силой  (как на рисунке). Перпендикулярно к оси стержня проведем сечение .  Для равновесия стержня , на его нижнее основание должна действовать сила . Нижняя и верхняя части стержня действуют друг на друга с равной силой , т.к. они деформированы. Отношение силы к площади поперечного сечения ­– напряжение.

Натяжение – напряжение при натяжении, .

Давление – напряжение при сжатии , где  площадь сечения. Давление – отрицательное напряжение и наоборот .

 – длина недеформированного стержня.  – приращение длины, после приложения силы . Значит полная длина .  – относительное удлинение стержня (если  – относительное сжатие).

Для малых упругих деформаций натяжение  (давление ) пропорционально относительному удлинению (относительному сжатию) —

  (),

где  – модуль Юнга (постоянная, зависящая только от материала стержня и его физического состояния).

Модуль Юнга – натяжение, которое необходимо приложить к стержню, чтобы его длина увеличилась в два раза. А две формулы выше – закон Гука.

Вычислим упругую энергию растянутого стержня. Приложим к стержню растягивающую силу  и будем постепенно (непрерывно и медленно) увеличивать ее от  до . Удлинение будет меняться от  до . По закону Гука ,

где  – коэффициент упругости.

Вся работа по растяжению стержня пойдет на увеличение его упругой энергии . Т.к. в конечном состоянии , то , то для энергии получим .

Под действием растягивающей или сжимающей силы  изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Если сила ­ растягивающая, то поперечные размеры стержня уменьшаются. Если она сжимающая, то они увеличиваются.

 – коэффициент Пуассона.

Он зависит только от материала рассматриваемого тела. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все остальные упругие деформации можно выразить через эти коэффициенты.

Post Views: 4 220

Физическая природа упругости

Любое тело состоит из атомов, между которыми действуют силы притяжения и отталкивания. Равновесие этих сил обуславливает состояние и параметры вещества при данных условиях. Атомы твердого тела при приложении к ним незначительных внешних сил растяжения или сжатия начинают смещаться, создавая противоположную по направлению и равную по модулю силу, которая стремится вернуть атомы в начальное состояние.

В процессе такого смещения атомов энергия всей системы увеличивается. Эксперименты показывают, что при малых деформациях энергия пропорциональна квадрату величины этих деформаций. Это означает, что сила, будучи производной по энергии, оказывается пропорциональной первой степени величины деформации, то есть зависит от нее линейно. Отвечая на вопрос, что такое модуль упругости, можно сказать, что это коэффициент пропорциональности между силой, действующей на атом, и деформацией, которую эта сила вызывает. Размерность модуля Юнга совпадает с размерностью давления (Паскаль).